Toepler-Algorithmus zum Berechnen von Quadratwurzeln


Zusammenfassung: Veranlaßt durch die rezeptartige Anleitung zum Berechnen von Quadratwurzeln mit einer etwa 55-jährigen historischen Sprossenrad-Rechenmaschine wird der mathematische Hintergrund des dabei angewendeten Toepler-Algorithmus analysiert. Dabei wird von zwei Varianten zum schriftlichen Wurzelziehen mit "Papier und Bleistift" ausgegangen. Nach einer Zusammenstellung der wesentlichen Eigenheiten mechanischer Rechenmaschinen werden die mathematischen Grundlagen zum Toepler-Algorithmus hergeleitet. Jede der drei Varianten zur Wurzelberechnung wird durch eine mathematisch begründete Rechenanleitung beschrieben und durch drei Zahlenbeispiele plausibel gemacht. Daraus werden auch die Unterschiede zwischen den drei Verfahren deutlich.

TN 0810: toepler.pdf *)   (ca.600 KB)
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Vorgeschichte: Mitte 2008 wurde durch eine Ausstellung im Braunschweigischen Landesmuseum über die Industriegeschichte der ehemaligen Rechenmaschinenfabrik Grimme, Natalis & Co. mein unterschwelliges Interesse für diese mechanischen Sprossenrad-Rechenmaschinen der vormals führenden Marke Brunsviga wieder geweckt. Nach dem Besuch dieser Ausstellung gelang es mir Mitte August 2008, bei eBay eine gut erhaltene, vollständig funktionsfähige Brunsviga Rechenmaschine Modell 20 zu ersteigern, und im Internet fand ich ein paar Tage später die Faksimileausgabe des Originalhandbuchs zu genau diesem Modell. Obwohl ich aus meiner Jugend den Umgang mit dieser Art von "Vierspezies-Rechenmaschinen" im Prinzip kannte, war ich verwundert, als ich in dem erwähnten Handbuch der Brunsviga 20 eine Anleitung zum Berechnen von Quadratwurzeln fand. Schon an die arithmetische Reihe, die diesem "Toepler-Verfahren" zu Grunde liegt, konnte ich mich nicht auf Anhieb erinnern. Danach ist die Summe der ersten n ungeraden Zahlen von 1 bis 2 n - 1 gleich n², was mit der Gaußschen Summenformel für arithmetische Reihen leicht nachgewiesen werden kann.

Die Rechenanleitung in dem Handbuch erwies sich tatsächlich als narrensicher, wie ich an etlichen Wurzelaufgaben erfolgreich nachvollziehen konnte. Spärlicher sah es dagegen mit einer Recherche über dieses Verfahren und seine mathematischen Grundlagen im Internet aus. Zum Glück haben wir jedoch in der zweiten Hälfte der 1950-er Jahre in der Schule noch das schriftliche Wurzelziehen gelernt. Also kramte ich in meinem Gedächtnis, wobei ein betreffender Eintrag bei Wikipedia durchaus hilfreich war, aber auch gewisse Unterschiede aufwies. Nachdem ich meine Erinnerung wiederaufgearbeitet und mir gewisse Eigenheiten mechanischer Rechenmaschinen wieder klargemacht hatte, erkannte ich auch die Eleganz des Toepler-Verfahrens für diese Anwendung. Damit ich nicht zu viele Details wieder vergesse, habe ich mich entschlossen, die mathematischen Grundlagen des historischen Toepler-Verfahrens und deren Herleitung mit jeweils drei Zahlenbeispielen als eine Art "Reverse Engineering" in einer technischen Notiz niederzulegen. Diese 22-seitige technische Notiz kann durch Anklicken des obigen Verweises als PDF-File geöffnet werden:

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Stand: 18.05.2017 / © MG